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Catóptrica de Euclides

 
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Excerpto da tradução

O grupo de Textos Científicos Antigos concluiu a tradução portuguesa da Óptica e Catóptrica de Euclides, na versão de Zamberto. Prepara agora colectivamente a publicação dessa com estudo e notas explicativas.

Titulo completo da publicação de Zamberto:

Euclidis megarensis philosophi platonici mathematicarum disciplinarum ianitoris: habent in hoc uolumine quicumque ad mathematicam substantiam aspirant: elementorum libros xiij. cum expositione Theonis insignis mathematici, quibus multa quae deerant ex lectione graeca sumpta addita sub nec non plurima subuersa et prepostere, uoluta in Campani interpretatione […] [.] Deputatum scilicet Euclidi uolumen .xiiij. cum expositione Hypsi[clis] Alex[andrini.] Itidemque et phaeno[mena] specu[laria] et perspe[ctiua] cum expositione Theonis. Ac mirandus ille liber datorum cum expositione Pappi mechanici una cum Marini dialectici protheoria. Bar[tholamaeo] Zamber[to] Vene[to] interprete, Venetiis MDXVII, aedibus Ioannis Tacuini.

Servia como base à transcrição o exemplar da Biblioteca Nacional, Lisboa BN Res. 1535 V, edição Zamberti de 1517. (consultámos também as ediçoes de 1546 e 1558da BNL).

 

 

> Coordenação: Dr. Henrique Leitão

 

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Euclidis Megarensis philosophi platonici mathematicique prestantissimi Specularia Bar[tholamaeo] Zam[berto] Veneto interprete.

[1] Visum lineam rectam esse qua media cuncta extremis correspondent,

[2] quaeque uidentur per rectam spectari lineam, planum ac receptum esse oportet.

[3] Speculo in plano collocato, inspectoque aliquo sublimi, quod et ipsi plano ad angulos rectos existat, fiant proportionalia: ut inter speculum et spectantem recta linea ad eam quae inter speculum et id quod ad angulos rectos fastigium, sic aspecti fastigii ad id quod ad angulos rectos in plano fastigium obiectum est.

[4] In planis namque speculis loco assumpto in quem ab inspecto perpendicularis cadit, non amplius spectatur uisibile.

[5] In conuexis uero speculis assumpto loco per quem ab inspecto in centrum sphaerae ducitur, uisibile non amplius spectatur, id quoque in cauis euenit.

[6] Si in uas enim quidpiam proiectum sit, acceperitque interuallum ut minime uideatur, eodem existente interuallo si aqua infundatur, iniectum spectabitur.

[Glosa manuscrita na margem esquerda:] Mensura altitudinis cum speculo plano, idem cum aqua.

    

Tratado dos Espelhos de Euclides de Mégara, filósofo platónico e eminentíssimo matemático. Traduzido por Bartolomeu Zamberto, de Veneza.

[1] Deve considerar-se evidente e como garantido que um raio visual é uma linha recta, na qual todas as partes intermédias estão em correspondência com os extremos,

[2] e que qualquer objecto observado é avistado em linha recta;

[3] que, se se colocar um espelho num plano e se avistar uma altura perpendicular ao dito plano, se observam as seguintes proporções: assim como a linha recta entre o espelho e o observador está para aquela entre o espelho e a altura perpendicular [ao plano], assim também [está a linha recta] da altura do observador para a altura perpendicular ao plano.

[4] Em espelhos planos, se se ocupar o lugar onde cai a perpendicular do objecto avistado, o objecto deixa de ser visível.

[5] Em espelhos convexos, se se ocupar o lugar por onde passa a linha recta traçada desde o objecto avistado até ao centro da esfera, o objecto deixa de ser visível. O mesmo acontece em espelhos côncavos.

[6] Se se lançar um objecto num recipiente e este alcançar uma distância tal, que deixa de ser visto; se se mantiver a mesma distância e se vazar a água, ver-se-á [novamente] o objecto lançado.

[Glosa: A mensuração de uma altura com um espelho plano, o mesmo com [um espelho] de água.]

     

Theorema primum.

A planis conuexis cauisque speculis uisus in aequalibus angulis refringuntur.

Sit oculus .b. speculum autem planum sit .ac. uisus uero feratur .bk. et refringatur in .d. Dico quod angulus .e. ipsi angulo .f. est aequalis. Excitentur per .xii. primi elementorum perpendiculares in speculum .bc. da. est igitur sicut .bc. ad .ck. sic est .da. ad .ak. hoc inquam in diffinitionibus patuit. Simile igitur est triangulum .bck. triangulo .dak. per diffinitionem primam .vi. elementorum. Igitur angulus .e. angulo .f. est aequalis, namque similia aequiangula sunt.

In conuexis.

Sit iam conuexum speculum .akc. uisus uero sit .bk. refractus in .d. Dico quod angulus .eh. aequalis est angulo .fl. apposui planum speculum .nm. aequalis est angulus .e. angulo .f. per precedentem. Sed et .h. ipsi .l. connectitur namque .mk. totus igitur .eh. toti .lf. est aequalis.

In cauis.

Sit rursus cauum speculum .akc. uisus autem .bk. refractus in .d. Dico quod angulus .e. aequus est angulo .f. collocato enim plano speculo .mn. aequalis est per primam angulus .he. angulo .fl. Aequalis autem est .h. ipsi .l. reliquus igitur .e. reliquo .f. est aequalis.

[...]

 

Teorema primeiro

Em espelhos planos, convexos e côncavos, os raios visuais são reflectidos em ângulos iguais.

Seja B um olho e seja AC um espelho plano. Que um raio visual BK se propague, sendo reflectido para D. Afirmo que o ângulo E é igual ao ângulo F. Levantem-se, pela 12ª do primeiro dos Elementos, as [rectas] BC e DA, perpendiculares ao espelho. Então, como BC está para CK, assim está DA para AK (isto, relembro, ficou patente nas definições). Portanto, o triângulo BCK é semelhante ao triângulo DAK, pela 1ª definição do 6º dos Elementos. Logo, o ângulo E é igual ao ângulo F, pois [triângulos] semelhantes possuem ângulos iguais.

Em convexos

Seja agora AKC um espelho convexo e seja BK um raio visual reflectido para D. Digo que o ângulo EH é igual ao ângulo FL. Acrescentei o espelho plano NM. O ângulo E é igual ao ângulo F pelo anterior. Contudo, o ângulo H também é igual ao ângulo L, pois MK é tangente [ao espelho côncavo]; logo, a totalidade do ângulo EH é igual à totalidade do ângulo LF.

Em côncavos

Seja agora AKC um espelho côncavo e seja BK o raio visual reflectido para D. Digo que o ângulo E é igual ao ângulo F. Com efeito, se acrescentarmos um espelho plano MN, o ângulo HE é igual ao ângulo FL, pela primeira proposição. Porém, o ângulo H é igual ao ângulo L, logo o restante ângulo E é igual ao restante ângulo F.

[...]

     
     
       
       
       
            
           
  Última actualização 05-06-07